কিছু গণিত সূত্র সমস্যা সমাধান ও টেকনিক

গণিতের সূত্র Formulas of Mathematics

পরিমিতির সূত্রঃ
    ১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য× প্রস্থ
    ২. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
    ৩. আয়তক্ষেত্রের কর্ণ =√ (দৈর্ঘ্য²+ প্রস্থ²)
    ৪. বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু)²
    ৫. বর্গ ক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × একবাহুর দৈর্ঘ্য
    ৬. বর্গ ক্ষেত্রের কর্ণ =√2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য
    ৭. রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (কর্ণদুইটির গুণফল)
    ৮. রম্বসের পরিসীমা = 4 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
    ৯. সামান্তরিকের ক্ষত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
    ১০. সামান্তরিকের পরিসীমা = 2 × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
    ১১. ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল)× উচ্চতা
    ১২. সমকোণি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
    ১৩. সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যa হলে ক্ষেত্রফল = √3 a²/4
    ১৪. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্যa এবং ভূমি b হলে ক্ষেত্রফল = b/4 √(4a²-b²)


নিচে কিছু জ্যামিতিক সুত্র দেয়া হলো যা সবার জন্য সবসময়ই কাজে দিবে

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলঃ
    ✬ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(ভূমি×উচ্চতা)
    ✬ সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২(সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)
    ✬ সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =a/4√(4b² -a²) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু
    ✬ সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল =(√3/4)a² ; এখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য

চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফলঃ
    ✬ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ
    ✬ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
    ✬ সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x উচ্চতা
    ✬ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য +প্রস্থ)
    ✬ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x একবাহুর পরিমাণ

ডাউনলোড করুন সহস্র গাণিতিক সূত্র সহ বাংলায় লিখা pdf book
বৃত্তের ক্ষেত্রফলঃ
    ✬ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² [এখানে, r বৃত্তের ব্যাসার্ধ; π = ৩.১৪৩]
    ✬ বৃত্তের পরিধি = ২πr গোলকের আয়তন = 4/3πr³


বর্গের সর্বমোট ৪টি সুত্র আছে যা নিচে প্রশ্ন ও সমাধান এবং টেকনিক সহ দেওয়া হলোঃ

    ১ সুত্রঃ বর্গের অন্তর বা পার্থক্য দেওয়া থাকলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে- টেকনিকঃ বড় সংখ্যা=(বর্গের অন্তর+1)÷2

        প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর যদি 47 হয় তবে বড় সংখ্যাটি কত?
        সমাধানঃ বড়সংখ্যা=(47+1)/2=24

    ২ সুত্রঃ দুইটি বর্গের অন্তর বা প্রার্থক্য দেওয়া থাকলে,ছোট সংখ্যাটি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-

        টেকনিকঃ ছোট সংখ্যাটি=(বর্গের অন্তর -1)÷2

        প্রশ্নঃ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 33। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত হবে? সমাধানঃ ছোট সংখ্যাটি  =(33-1)÷2=16(উঃ)

    ৩ সুত্রঃ যত বড়....তত ছোট/ তত ছোট....যত বড় উল্লেখ থাকলে সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে-

        টেকনিকঃ সংখ্যাটি=(প্রদত্ত সংখ্যা দুটির যোগফল)÷2

        প্রশ্নঃ একটি সংখ্যা 742 থেকে যত বড় 830 থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত? সমাধানঃ সংখ্যাটি=(742+830)÷2=786(উঃ)

    ৪ সুত্রঃ দুইটি সংখ্যার গুনফল এবং একটি সংখ্যা দেওয়া থাকলে অপর সংখ্যাটি নির্নয়ের ক্ষেত্রে-

        টেকনিকঃ সংখ্যা দুটির গুনফল÷একটি সংখ্যা

        প্রশ্নঃ 2টি সংখ্যার গুনফল 2304 একটি সংখ্যা 96 হলে অপর সংখ্যাটি কত?

        সমাধানঃ অপর সংখ্যাটি=(2304÷96)=24

স্কুলের সকল গনিত সুত্র একটি পিডিএফ ফাইল এ ডাউনলোড করে নিন

Read More

ত্রিকোনোমিতির সব অংক মাত্র ৫টি টেকনিকেই shortcut technique

গণিতের সূত্র Formulas of Mathematics

নভেম্বর ০৪, ২০১৭ নভেম্বর ০৪, ২০১৭ Bangla PDF Book

সুত্র ১: শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনেরাখুন –উচ্চতা= [পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]

উদাহরন :
একটি মিনাররের পাদদেশ হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে মিনারের উচ্চতাকত?

সমাধানঃ উচ্চতা =[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3] =20/√3

সুত্র ২ : শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60 হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনেরাখুন- উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব × √3]

উদাহরনঃ
একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থানথেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন 60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ন্যয় করুন?অথবাঃ সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি গাছের
ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান :
উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব × √3]=10√3=17.13

 (মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)
(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60° হলে গুন হবে)

সুত্র ৩ : সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভুমি হতে
ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে- কত উচুতে ভেংগেছিলো= (খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)

উদাহরন :
একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো ?

সমাধান :
কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো = (খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3) = 48÷3=16

সুত্র ৪: সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোন উৎপন্ন হলে ভূমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ন্যেয়ের ক্ষেত্রে-শর্ট টেকনিক :কতউচুতে ভেংগেছিলো = (খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)

উদাহরন:
18 ফুট উচু একটি খুটি এমন ভাবে ভেংগে গেলো যে ভাংগা অংশটি
বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30 কোনে স্পর্শ করলো। খুটিটি মাটি থেকে কতফুট উচুতে ভেংগে গিয়েছলো?

সমাধান:
কত উচুতে ভেংগেছিলো= (খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)=(18÷3) = 6 ফুট

সুত্র ৫: যখন মই দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে লাগানো থাকে তখন-*শর্ট টেকনিকঃ (মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)²(দেয়ালের দুরত্ব)²*

উদাহরন:
একটি 50মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে।মইয়ের একপ্রান্তে মাটি হতে 40মিটার উপরে দেয়ালকে স্পর্শ করে মইয়ের অপর প্রান্ত হতে
দেয়ালের লম্ব দুরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
(মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)² (দেয়ালের দুরত্ব)²বা, (দেয়ালের দুরত্ব)² =(মইয়ের উচ্চতা)²– (দেয়ালের উচ্চতা)²বা, দেয়ালের দুরত্ব= √(50)² – √ (40)² =10মিটার
[লক্ষ করুনঃউপরের এই ৫নং সুত্রের মাধ্যেমেই ‘মইয়ের উচ্চতা’ ‘দেয়ালের উচ্চতা’ ও ‘দেয়ালের দুরত্ব’ প্রশ্নে যাই বলে সব কয়টি শুধু প্রক্ষান্তর করে (প্রশ্নানুযায়ী ডান থেকে বামে সরিয়ে) নির্নয় করতে পারবেন।] "



২০ সেকেন্ডে সব ত্রিকোণমিতি!

আজ আপনাদের জন্য থাকছে ত্রিকোনোমিতির করার শর্টকাট টেকনিক। অনেকের কাছেই ত্রিকোনোমিতি কঠিন মনে হয় , কিন্তু কিছু টেকনিক ফলো করলে অতি সহজেই আপনি ত্রিকোনোমিতির অংক করতে পারেন । মাত্র ৫টি সূত্র জানা থাকলে আপনি মাত্র ২০ সেকেন্ডেই সব অংক করে ফেলতে পারবেন!

সুত্র: ১ click to collapse contents

শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে...
শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনে রাখুন উচ্চতা= [পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]

উদাহরন: একটি মিনাররের পাদদেশ হতে 20 মিটার দুরের ১টি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোন 30° হলে মিনারের উচ্চতা কত?

সমাধান: উচ্চতা =[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব÷√3]
          =20/√3 (উঃ)

সুত্র: ২click to collapse contents

শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60° হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে...

শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোন 60° হলে উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে টেকনিক মনে রাখুন উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]

উদাহরন:একটি তাল গাছের পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দুরবর্তী স্থান থেকে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোন 60° হলে গাছটির উচ্চতা নির্ন্যয় করুন?

অথবা: সুর্যের উন্নতি কোন 60° হলে একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 10 মিটার হয়। গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান: উচ্চতা=[পাদদেশ হতে দুরত্ত্ব ×√3]
          =10√3=17.13 (উঃ)

(মুখস্ত রাখুন √3=1.73205)

(শুধু মনে রাখুন 30° হলে ভাগ এবং 60° হলে গুন হবে)

সুত্র: ৩ click to collapse contents

সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন হলে ভুমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে...

সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন হলে ভুমি হতে ভাংগা অংশের উচ্চতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে-কত উচুতে ভেংগেছিলো=(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)

           
উদাহরন: একটি 48 মিটার লম্বা খুটি ভেংগে গিয়ে সম্পুর্ন ভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভুমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুটিটি কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো?

সমাধান: কত উচুতে ভেঙ্গেছিলো =(খুটির মোট দৈর্ঘ্য ÷ 3)
                    =48÷3=16 (উঃ)
গণিত সূত্র সম্ভার

Keywords: ত্রিকোনোমিতি, Sutro, Shutra, Shutro, Shutra, Shutraboli, সমাধান, Tricks, Book, টেকনিকে, Math, shortcut, কৌশল, technique, উদাহরন, ongko, problemঅংক, নিয়ম

Read More

গণিত সূত্র - Math Formula - MCQ Answer - PDF Book

https://mathformulabd.blogspot.com/2014/07/donwload-pdf-book-shorcut-math.html

গণিতের সূত্র Formulas of Mathematics

গণিত সূত্র সমূহ ভালোভাবে আয়ত্ত আনতে পারলে খুব সহজে অঙ্ক সমস্যা সমাধান করা যায়। গণিত সূত্র ও কিছু গণিত সমাধান নিয়ে এই মেগা পোস্ট দেয়া হলো, আশা করি আপনাদের ভালো লাগবে।
এখানে বীজগণিত সূত্র -Formula of Algebra, সমান্তর ধারা, পরিমিতি সূত্র, Trigonometry angle, Formula of Differentiation, Formula of Fundamentals,Formula of Trigonometry, Math MCQ সমাধান উল্লেখ করা হলো

💢 বীজগণিত সূত্র

কিছু গুরুত্বপূর্ণ বীজ গণিত সূত্র নিচে দেয়া হলো:

Formula of Algebra - বীজগণিত সূত্র Wiki Source
(a+b)²= (a-b)²+4ab	(a+b)²= (a-b)²+4ab
(a-b)²= a²-2ab+b²	(a-b)²= (a+b)²-4ab
a² + b²= (a+b)² - 2ab	a² + b²= (a-b)² + 2ab
a²-b² =(a + b)(a - b)	2(a² + b²) = (a+ b)² + (a - b)²
4ab = (a + b)² -(a-b)²	ab ={(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)	(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)	(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³ + b³ = (a + b) (a² -ab + b²)	a³ + b³ = (a+ b)³ -3ab(a+ b)
a³ -b³ = (a -b) (a² + ab + b²)	a³ -b³ = (a-b)³ + 3ab(a-b)

সহস্র গাণিতিক সূত্র পিডিএফ বই এখান থেকে ডাউনলোড করে নিন

💢 সমান্তর ধারা

২ + ৪ + ৬ +.......... + ২০
একটি ধারা যার, প্রথম পদ হলো ২, দ্বিতীয় পদ ৪, তৃতীয় পদ ৬. এখানে, প্রথম পদ থেকে পরবর্তী পদের অন্তর সর্বদা সমান হওয়ায় একে সাধারণ অন্তর বলে। r-তম পদ (সাধারণ পদ) একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, r তম পদ = a + (r - 1).d
সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d বিশিষ্ট সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি s = n/2 {2 a + (n-1).d}
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 1 + 2 + 3 +....... + n, n = n(n + 1 )/2
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 1² + 2² + 3² +....... + n² = n(n + 1)(2 n + 1 )/6
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 1³+ 2³ + 3³ +....... + n³ = {n(n + 1 )/2 }²
১ থেকে আরম্ভ করে পরপর বিজোড় সংখ্যা শ্রেণীর সমষ্টি = (পদসংখ্যা)² যেমন - ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ১১ + ১৩ = (৭)² = ৪৯

💢 পরিমিতি সূত্র

পরিমিতির অঙ্ক গুলো আমাদের কাছে সমাধান করা একটু কঠিন মনে হয়। পরিমিতি অঙ্ক সহজে মনে রাখার জন্য নিচে পরিমিতি সূত্র গুলো দেয়া হলো :

পরিমিতি সূত্র
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য× প্রস্থ	আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
আয়তক্ষেত্রের কর্ণ =√ (দৈর্ঘ্য²+ প্রস্থ²)	বর্গ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ( একবাহু)²
বর্গ ক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × একবাহুর দৈর্ঘ্য	বর্গ ক্ষেত্রের কর্ণ =√2 × একবাহুর দৈর্ঘ্য
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × (কর্ণদুইটির গুণফল)	রম্বসের পরিসীমা = 4 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
সামান্তরিকের ক্ষত্রফল = ভূমি × উচ্চতা	সামান্তরিকের পরিসীমা = 2 × (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 1/2 ×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল)× উচ্চতা	সমকোণি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যa হলে ক্ষেত্রফল = √3 a²/4	সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্যa এবং ভূমি b হলে ক্ষেত্রফল = b/4 √(4a²-b²)

গণিত শর্টকাট ফর্মুলা পিডিএফ বই ডাউনলোড এখান থেকে ডাউনলোড করে নিন

💢 Trigonometry angle

ত্রিকোণমিতি গণিতের একটি শাখা, যাতে ত্রিভুজের কোণ, বাহু ও তাদের মধ্যকার সম্পর্ক ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা হয়। ত্রিকোণমিতি শব্দের ইংরেজি প্রতিশব্দ হচ্ছে Trigonometry। এই শব্দটি আবার গ্রিক শব্দ trigōnon "ত্রিভুজ" এবং metron "পরিমাপ" থেকে উদ্ভূত হয়েছে। ত্রিকোণমিতির অপেক্ষকগুলো বেশ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এগুলোর মাধ্যমে বিভিন্ন মানের পাল্লার প্রতিরূপ দেয়া যায় বা বারবার পুনরাবৃত্ত হয়। এগুলো পুনরাবৃত্ত প্রতিভাসের প্রতিরূপে যেমন দোলকের গতি অথবা পরিবর্ত্য তড়িৎ প্রবাহের বিশ্লেষণে উদ্ভূত হয়। ত্রিকোণমিতির গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার রয়েছে। এটি ব্যবহার করে দৈর্ঘ্যের এক বিশাল জালি পাওয়া যায় যা সাধারণ পরিমাপ পদ্ধতি ব্যবহার করে মাপা যায় না।

Trigonometry angle
⬀ Sin0° =0 ⬀ Sin30° = 1/2 ⬀ Sin45° = 1/√2 ⬀ Sin90° = 1 ⬀ tan30° = 1/√3 ⬀ tan60° = √3 ⬀ cot is opposite of tan ⬀ sec30° = 2/√3 ⬀ sec60° = 2 ⬀ cosec is opposite of sec	⬀ Sin60° = √3/2 ⬀ Cos is opposite of sin tan0° = 0 ⬀ tan45° = 1 ⬀ tan90° = ∞ ⬀ sec0° = 1 ⬀ sec45° = √2 ⬀ sec90° = ∞

💢 Formula of Differentiation

অন্তরকলন (ইংরেজি: Differential Calculus) বা অবকলন বা ব্যবকলন গণিতশাস্ত্রের এমন একটি শাখা যাতে কোন রাশির অন্য কোন রাশির সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। অর্থাৎ ক্রমবর্ধমান বা ক্রমহ্রাসমান দুটি রাশি, যাদের মধ্যে ফাংশনাল সম্পর্ক রয়েছে, তাদের একের সাপেক্ষে অপরের পরিবর্তনের হার নিরূপণ এবং এর তাৎপর্য নির্ণয় অন্তরকলনের মূল উদ্দেশ্য।
একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের বাস্তব ফাংশনের জন্য, কোনও বিন্দুতে ঐ ফাংশনের অন্তরকলজ (ইংরেজি: Derivative) লেখচিত্রটির স্পর্শকের নতির সমান।

Formula of Differentiation
⬀ d/dx (x+c)=1 ⬀ d/dx (sinx+c)= cosx ⬀ d/dx (-cosx+c)= sinx ⬀ d/dx (tanx+c)= sec²x ⬀ d/dx (-cotx+c)= cosec²x ⬀ d/dx (secx+c)= secx tanx ⬀ d/dx (-cosecx+c)= cosecx cotx	⬀ d/dx ( lnx+c )= 1/x ⬀ d/dx ( ln secx )= tanx ⬀ d/dx ( ln sinx+c )= cotx ⬀ d/dx ln(secx+tanx)= secx ⬀ d/dx ln(cosecx-cotx)= cosecx ⬀ d/dx (e^x + c)= e^x ⬀ d/dx (a^x / lna)= a^x

💢 Formula of Fundamentals

Formula of Fundamentals
⬀ cos0+i sin0=1 ⬀ cosπ + i sinπ =−1 ⬀ cos π/2 ± i sin π/2 =±i ⬀ cos π/4 ± i sin π/4 = 1/√2 (1±i) ⬀ cos π/3 ± i sin π/3 =½ (1±i√3) ⬀ cos π/6 ± i sin π/6 = 1/2 (√3±i) ⬀ cos 2π/3 + i sin 2π/3 = 1/2 (−1+i√3)	⬀ cosθ = cos (2nπ +θ) ⬀ sinθ = sin (2nπ +θ) ⬀ (cosθ + i sinθ)^n = cos nθ + i sin nθ ⬀ (cosθ +i sinθ)^1/n = { cos(2kπ +θ) + i sin(2kπ +θ) }^1/n = cos ⬀(2kπ+θ)/n +i sin (2kπ+θ)/n.[When, n=1,2,3... and k=1,2,3.....(n-1) ] If, (a+ ib)^n Then, a= r cosθ and b=r sinθ

Download 1300 Math Formulas PDF Book এখান থেকে ডাউনলোড করে নিন

💢 Formula of Trigonometry

Formula of Trigonometry
⬀ Sin²Θ+Cos²Θ=1	⬀ Sec²Θ-tan²Θ=1
⬀ Cosec²Θ-Cot²Θ=1	⬀ SinΘ=1/CosecΘ
⬀ CosecΘ=1/SinΘ	⬀ CosΘ=1/SecΘ
⬀ SecΘ=1/CosΘ	⬀ tanΘ=1/CotΘ
⬀ CotΘ=1/tanΘ	⬀ tanΘ=SinΘ/CosΘ
⬀ Sin(A+B)=sinA cosB+ cosA sinB	⬀ cos(A+B)=cosA cosB - sinA sinB
⬀ sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB	⬀ cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
⬀ tan(A+B)= (tanA + tanB)/ (1−tanAtanB)	⬀ tan(A−B)= (tanA − tanB) / (1+ tanAtanB)
⬀ cot(A+B)= (cotAcotB −1) / (cotA + cotB)	⬀ cot(A−B)= (cotAcotB + 1) / (cotB− cotA)
⬀ Sin(A+B)=sinA cosB+ cosA sinB	⬀ cos(A+B)=cosA cosB +sinA sinB
⬀ sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB	⬀ cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
⬀ tan(A+B)= (tanA + tanB)/ (1−tanAtanB)	⬀ tan(A−B)= (tanA − tanB) / (1+ tanAtanB)
⬀ cot(A+B)= (cotAcotB −1) / (cotA + cotB)	⬀ cot(A−B)= (cotAcotB + 1) / (cotB− cotA)
⬀ a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R	⬀ a = b cosC + c cosB
⬀ b = a cosC + c cosA	⬀ c = a cosB + b cosA
⬀ cosA = (b² + c²− a²) / 2bc	⬀ cosB = (c² + a²− b²) / 2ca
⬀ cosC = (a² + b²− c²) / 2ca	⬀ Δ = abc/4R
⬀ sinΘ = 0 Then,Θ = nΠ	⬀ sinΘ = 1 Then,Θ = (4n + 1)Π/2
⬀ sinΘ =−1 Then,Θ = (4n− 1)Π/2	⬀ sinΘ = sinα Then,Θ = nΠ (−1)^nα
⬀ sin2A = 2sinAcosA	⬀ cos2A = cos²A − sin²A
⬀ cos2A = 2cos²A − 1	⬀ cos2A = 1 − sin²A
⬀ 2sin²A = 1 − cos2A	⬀ 1 + sin2A = (sinA + cosA)²
⬀ 1 − sin2A = (sinA − cosA)²	⬀ tan2A = 2tanA / (1 − tan²A)
⬀ sin2A = 2tanA / (1 + tan²A)	⬀ cos2A = (1 − tan²A) / (1 + tan²A)
⬀ 4sin³A = 3sinA − sin3A	⬀ 4cos³A = 3cosA + cos3A
⬀ 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)	⬀ 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
⬀ 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)	⬀ 2sinAsinB=cos(A-B)-cos(A+B)

💢 Math MCQ

কিছু Math MCQ প্রশ্ন ও তার Answer সমাধান নিচে দেয়া হলো

👉 যখন ঘড়িতে ১ টা বাজে তখন ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটার মধ্যে কোণ কত ডিগ্রি উৎপন্ন হয়?  Ans: ৩০°

👉 ১ থেকে ১০ পর্যন্ত কয়টা মৌলিক সংখ্যা আছে?  Ans: ৪ টা

👉 সব চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কোনটি? Ans: ২

👉 A={1,2,3} হলে নিচের কোনটি A সেটের প্রকৃত উপসেট? Ans:{ }

👉 আয়তাকার ঘনবস্তুর কয়টি তল আছে? Ans:৬

👉 A = { a, b, c} হয়, তবে, P (A)-এর উপাদান সংখ্যা কয়টি? Ans: 8

👉 X = {a, b}, Y= { b,c}, Z = { b, 3, 4} হলে XUYUZ-এর উপাদান সংখ্যা কত? Ans: 5

👉 A = { 1, 2, 3, 4 } হলে, সেট A-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? Ans: 14

👉 a,b,c কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু হলে নিচের কোনটি সঠিক? Ans: a+b=c

👉 কতকগুলো সরল রেখা কোন একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ঐ বিন্দুতে উৎপন্ন কোণগুলোর সমষ্টি কত? Ans: ৩৬০°

👉 ১২০° কোণের সম্পূরক কোণ কত? Ans: ৬০°

👉 ট্রাপিজিয়ামের কয়টি বাহু সমান্তরাল? Ans: ২টি

👉 বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রী? Ans: ১৮০°

👉 চতুর্ভুজের চারকোণের সমষ্টি কত? Ans: চার সমকোণ

👉 রশ্মির কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে? Ans: ১টি

👉 রেখাংশের কয়টা প্রান্ত বিন্দু থাকে ? Ans:২টি

👉 একটি রেখার কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে? Ans: কোন প্রান্ত বিন্দু থাকে না

👉 x + y = 3 , xy = 2 হলে, x3 + y3 এর মান কত?  Ans: 9

👉 5.9999932 ...... সংখ্যার তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান∏?  Ans: 6.000

👉 লগারিদমের ক্ষেত্রে ভিত্তি উল্লেখ না থাকলে সাংখিক মানের ক্ষেত্রে ভিত্তি কত ধরা হয়?  Ans:10

👉 লগারিদমের ক্ষেত্রে ভিত্তি উল্লেখ না থাকলে বীজগণিতীয় ক্ষেত্রে ভিত্তি কত ধরা হয়?  Ans: e

👉 লগ সারণির ভিত্তি কত ধরা হয়?  Ans: 10

👉 ২৫ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণের পরিমান কত? Ans: ৬৫ ডিগ্রি 

👉 সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে কয়টি কোণ সূক্ষ্মকোণ? Ans: তিনটি

👉 সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান কত? Ans: ৬০ ডিগ্রি

👉 ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে? Ans: ২৫ টি

👉 একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা কোনটি ?  Ans: ২

👉 বাস্তব ও চিন্তা জগতের সু-সজ্ঞায়িত বস্তুসমূহের সংগ্রহকে কি বলে?  Ans: সেট

👉 পূর্ণবর্গ নয়, এমন যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কোন ধরণের সংখ্যা? Ans: অমুলদ সংখ্যা

👉 সেট তত্ত্বের (set theory) জনক কে?  Ans: জর্জ  ক্যান্টর

👉 অসীম সেটের ধারণা প্রদান করেন কে?  Ans: জর্জ  ক্যান্টর

👉 A={1,2,3,4,5,6} এর প্রকৃত উপসেট কোনটি ?  Ans: {1,4,5,6}

👉 ভেন চিত্রের জনক কে?  Ans: জন ভেন

👉 যদি A={a,b,c,d} একটি সেট হয়, তবে P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত?  Ans: 16

👉 সেট সম্বন্ধে কে প্রথম ব্যাখ্যা করেন ?  Ans: জর্জ  ক্যান্টর

👉 যে কোন আবৃত দশমিক ভগ্নাংশ কোন ধরণের সংখ্যা ?  Ans: মূলদ সংখ্যা

👉 সেটকে কয় পদ্ধতিতে প্রকাশ করা যায় ?  Ans: ২

👉 ......-3,-2,-1,0,1,2,3..... ইত্যাদি কোন ধরনের সংখ্যা ?  Ans: পূর্ণসংখ্যা । 

👉 শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যাকে কি বলে?  Ans: পূর্ণসংখ্যা । 

Read More

Funn with Math অঙ্কের মজা

গোলোক বরাবরেই অঙ্কে কাঁচা । অন্য বিষয়ে মোটামুটি পারলেও সে অঙ্ক একদম মেলাতে পারেনা। অঙ্ক করতে বসলেই গোগোলের মাথা কাজ করেনা গন্ডগোল করে। সব কিছু তালগোল পাকিয়ে যায়। অঙ্কের  স্যারও পরীক্ষায় গোলোক “গোল” ছাড়া অন্য কিছু দেন না , ফলে বাড়িতে কি হাল হয় বুঝতেই পারছ। কিন্তু গোলোক কেন,  আমাদের অনেকেই অঙ্ক দেখলেই মাথা কাজ করেনা । ভয় পাই, এড়িয়ে চলি। কিন্তু অঙ্ক কি সত্যই  কঠিন,নীরস বিষয় ? নাকি অঙ্কও মজাদার হয় ? আসলে জানো কি অঙ্কের মধ্যেও কিন্তু অনেক মজা লুকিয়ে আছে। শুধু আমাদের এটাকে ভয় পেয়ে এড়িয়ে  না গিয়ে , লুকিয়ে থাকা মজাটা কে খুজে বের করতে হবে। এসো আজ আমরা অঙ্কের এমনি কিছু মজার বিষয় নিয়ে আলোচনা করি- funn-with-math

  

দুই অঙ্কের যেকোন সংখ্যাকে ১১ দ্বারা গুন করার সহজ পদ্ধতি

দুই অঙ্কের যেকোন সংখ্যাকে ১১ দ্বারা গুন করতে হবে ? ভয় নেই ১১ এর নামতা মুখস্ত করতে হবে না কিন্তু চট করে করতে পারবে ।  এসো দেখি কিভাবে সহজে এটা পারবে । কৌশলটা হল সংখ্যা দুটোর মাঝখানে তাদের যোগফল বসিয়ে দাও ব্যাস গুণফল পেয়ে যাবে। বুঝতে পারলে না । ঠিক আছে , উদাহরণটা দেখে নাও-  Funn with Math

 যেমন     ৩৬ x ১১ = ৩৯৬(৩ + ৬ = ৯ ; ৩ এবং ৪ এর মাঝে ৯ বসানো হল)

 এইভাবে, ৩৪ X ১১ = ৩(৩+৪)৪=৩৭৪

                 ৭২ X ১১ = ৭৯২

যখন সংখ্যা দুটোর যোগফল ৯ এর বেশি  হয় , তখন বামদিকের অঙ্কটির সাথে ১ যোগ করতে হবে।যেমন 98 X 11 = 1078 (9 + 8 = 17; 9 থেকে বেশী তাই বামদিকের অঙ্কের সাথে 1 যোগ করা হল এবং ১০ ও ৮ এর মধ্যে সাত বসান হল)

এইভাবে,  ৭৮ X ১১ = ৭(৭+৮)৮= ৭(১৫)৮=(৭+১)৫৮=৮৫৮

               ৫৬ X ১১ = ৬১৬

   কিন্তু যদি দুই অঙ্কের সংখ্যা না হয়ে তিন বা বেশী অঙ্কের সংখ্যা হয় তখন ?  সেক্ষেত্রে নিয়ম টা হল তোমাকে প্রান্তের সংখ্যা দুটো ছাড়া বাকি সংখ্যা গুলি কে পর্যায়ক্রমে ডানদিক হতে বামদিকে লিখে যেতে হবে।  এটা মুলতঃ আগের দুই অঙ্কের উদাহরনটির সাধারন রূপ।   

  এসো একটা করে দেখাই, ধরাযাক (৪৩৬ X ১১)

   আগেই বলেছি ডানদিক হতে শুরু করতে হবে,  তাহলে প্রথমে ৬ লিখে ফেলো এরপর ৬ এর সাথে ৩ যোগ কর (পরবর্তি জোড়া ) এবং সেটা তারপরে লিখ। তাহলে ৬৯ হল।  তারপর পরের জোড়া ৩ ও ৪ যোগ কর এবং তারপরে বসাও । কত হল ? ৬৯৭। এরপর আর জোড়া নেই সুতরাং শেষ অঙ্ক ৪ বসিয়ে দাও (৬৯৭৪) , ব্যাস,গুন হয়ে গেল। কি মজার নয় ? ঠিক আছে আরো কয়েকটা উদাহরন দেখ-

  ৩২৫৪ X ১১ = ৩(৩ + ২ )(২ + ৫)(৫ + ৪)৪ = ৩৫৭৯৪

  ২৩১৪৫ X ১১ = ২(২+ ৩ )(৩ + ১)(১ + ৪)(৪+ ৫)৫  = ২৫৪৫৯৫

 যখন সংখ্যা দুটো মাঝের জোড় অঙ্কের যোগফল ৯ এর বেশি  হবে , তখন বামদিকের অঙ্কটির সাথে ১ যোগ করতে হবে । যেমনঃ  

  ৪৩৬৮৭ X ১১   = ৪(৪+ ৩ )(৩ + ৬)(৬ + ৮)(৮+ ৭)৭ 

                     = ৪(৭ )(৯)(১৪)(১৫)৭

                     = ৪(৭ )(৯)(১৪+১)(৫)৭

                     = ৪(৭ )(৯)(১৫)(৫)৭

                     = ৪(৭ )(৯+১)(৫)(৫)৭

                     = ৪(৭ )(১০)(৫)(৫)৭

                     = ৪(৭+১ )(০)(৫)(৫)৭

                     = ৪৮০৫৫৭

১১ সংখ্যাটির আরো  মজা আছে যেমন এভাবেই কোন সংখ্যাকে ২২,৩৩,৪৪ ইত্যাদি দ্বারা গুন করা যাবে।  যা পরে সুযোগ পেলে আলোচনা করব।

যেকোন সংখ্যাকে ৯-এর যেকোন সংখ্যা দ্বারা গুন( উদাহরণস্বরূপ, ৩৬ X 99)    

           প্রথমে গুনকে যতগুলি ৯ আছে ততগুলি ০ বসাও গুন্যের পরে(এখানে ৩৬০০ যেহেতু দুটি ৯ আছে; ) এরপর, এটি হতে গুন্যটি বিয়োগ করে দিলেই গুনফল পেয়ে যাবে(৩৬০০-৩৬ = ৩৫৬৪)

 একইভাবে , 28৩ X 99 = (২৪৩০০-২৪)= ২৪২৭৬

                ৫৩৬২ X ৯৯৯ = ( ৫৫৩৬২০০০-৫৩৬২) = ৫৩৫৬৬৩৮   

৯ যুক্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ

    ৯ যুক্ত যেকোন সংখ্যার বর্গ করতে চাও ? চটপট সংখ্যাটিতে যতগুলি ৯ আছে তার চেয়ে ১ টি কম ৯ লিখ ফেল। এর ডান পাশে একটি ৮ বসাও। তারও ডানদিকে ঠিক যতগুলি ৯ লিখেছ, তার সমসংখ্যক ০ বসাও। এবং সবার শেষে ১ লিখ ।  তোমার কাজ শেষ।  

যেমন-   ৯৯৯ X ৯৯৯ = ৯৯৮০০১

             ৯৯৯৯ X ৯৯৯৯ =  ৯৯৯৮০০০১

             ৯৯৯৯৯ X ৯৯৯৯৯ = ৯৯৯৯৮০০০০১  

যে সব সংখ্যার শেষ অঙ্কটি ৫ তাদের বর্গ করার মজাদার পদ্ধতি

আগের সংখ্যাটিকে তার পরবর্তি উচ্চ সংখ্যা দ্বারা গুন করে শেষে ২৫ বসাও । ব্যাস নিমেষে          বর্গ করার কাজ শেষ।

      যেমন  ৩৫ X ৩৫ = [৩ X (৩+১)]২৫= (৩ X ৪)২৫= ১২২৫

             ৭৫ X ৭৫ = [৭ X (৭+১)]২৫= (৭ X ৮)২৫= ৫৬২৫

            ১০৫ X ১০৫ = [১০ X (১০+১)]২৫= (১০X ১১)২৫= ১১০৫

   উপরের কৌশলটি  যে কেবল মাত্র যে সকল সংখ্যার শেষে ৫ থাকবে তাদের জন্যই প্রযোজ্য , এমন নয় । আসলে যে সব সংখ্যার শেষ অঙ্ক দুটির যোগফল ১০ এবং এককের অঙ্ক একই , তাদের ক্ষেত্রেও এই একই পদ্ধতিতে বর্গ নির্নয় করা যায় , যেমন-

             ৭৮ X ৭২  ( এখানে শেষ অঙ্কদুটি , ৮ + ২ = ১০ )

             সুতরাং গুনফলের প্রথম অংশ হবে ৭ X (৭+১) = ৭ X ৮ = ৫৬,

              দ্বিতীয় অংশ হবে , ৮ X ২ = ১৬ ( শেষ অঙ্ক দুটির গুনফল)

              গুনফল ৭৮ X ৭২ = ৫৬১৬

              অনুরূপে, ৬৩ X ৬৭ = [৬ X (৬+১)][৩ X৭] = ৪২২১

Read More

Bangla Math Magic Tips and Tricks

গণিতের সূত্র Formulas of Mathematics

 

গণিত সবসময় মজার এবং আকর্ষণীয়। আমরা Math Tricks ব্যবহার করে সংখ্যা নিয়ে খেলতে পারি এবং আমাদের বন্ধু এবং সহকর্মীদের মুগ্ধ করতে পারি। এই কৌশল গুলো জানুন এবং আপনার বন্ধুদের সাথে খেলে তাদের অবাক করে দিতে পারেন। এই  Math Magic ট্র্যাক গুলো এত সহজ যে আপনি প্রদত্ত পদক্ষেপগুলি দিয়ে খুব সহজেই তা শিখতে পারেন। আপনার বন্ধুদের সাথে এই কৌশল শিখে ম্যাজিক দেখান এবং আপনার প্রতিভা প্রমাণ করুন।

📩 গণিতের ম্যাজিকঃ জাদুর খাম
 আমরা এখন যে যে ম্যাজিকটি শিখব সেই ম্যাজিকটির নাম, ‘জাদুর খাম’। এই ম্যাজিকটিতে তুমি তোমার বন্ধু কে বলবে চারটি সংখ্যা লিখে এর যোগফল তোমাকে জানাতে। সে এটা জানানোর পরে তুমি আগে থেকে লিখে রাখা একটা মুখবন্ধ খাম তুলে দিবে তার হাতে। জাদুটি হল, তোমার বন্ধু  দেখবে তোমার আগেই লিখে রাখা মুখবন্ধ খামে সেই সংখ্যাটাই লেখা আছে যেটি সে তোমাকে বলেছিল।
ব্যাপারটা কিন্তু খুবই মজার হবে, তাই না? বন্ধু দের তাক লাগিয়ে দিতে এই জাদু শিখতে চাও?
তাহলে আসো শুরু করা যাক!

যা যা লাগবে
✋ এক টুকরো সাদা কাগজ
✋ কলম
✋  খাম
✋ আঠা

জাদুর রহস্যভেদ
এসো জেনে নেই কী করে এই মজার জাদুটি দেখাতে হবে।

জাদু শুরুর আগে আমাদের কিছু কাজ করতে হবে,

👉 গণিতের জাদু শুরু হবার আগেই তুমি একটি সাদা কাগজ নেবে। এই কাগজে বর্তমানে যে সাল চলছে, তার ২ গুণ লিখবে। যেমন, এখন যদি ২০১১ সাল হয়, তবে তুমি কাগজে লিখবে (২০১২X২)= ৪০২২। ২০২০ সাল হলে ৪০৪০, ২০১০ সাল হলে ৪০২০ ইত্যাদি।
👉 এবার কাগজটি ভাঁজ করে খামের মধ্যে ঢুকিয়ে দাও। খামের মুখ আঠা দিয়ে বন্ধ করে দাও।

জাদু দেখানোর সময় যা করতে হবে

👉 তোমার বন্ধু কে কাগজে তার জন্মসাল লিখতে বলো।
👉 এবার তাকে তার জীবনের একটি বিশেষ ঘটনার সালটি লিখতে বলো। যেমন, যেই সালে সে প্রথম স্কুলে ভর্তি হয়েছিলো, অথবা যেই সালে সে প্রথম চিড়িয়াখানায় গিয়েছিলো।
👉 এবার তোমার বন্ধু কে তার বয়স লিখতে বলো। (এ বছর তার বয়স কত হবে তা লিখবে।)
👉 সেই বিশেষ ঘটনার পর কত বছর পার হয়েছে সেই সংখ্যাটি এবার তাকে ঝটপট লিখে ফেলতে বলো।
👉 সবশেষে তাকে এই চারটি সংখ্যা যোগ করে যোগফলটি লিখতে বলো।
👉 এবার জাদুকরের জাদু দেখাবার পালা। চোখ বন্ধ করে মন্ত্র পড়ে তুমি খামটি তুলে নেবে। খাম খুলে ভেতরের কাগজটি সবাইকে দেখিয়ে দাও।

উদাহরণ দিয়ে বিষয়টি আরও পরিষ্কার করে দিচ্ছি--

এখন ২০১৮ সাল। তুমি এই সংখ্যাকে ২ দিয়ে গুণ করে খামের ভিতরের কাগজটিতে ৪০৩৬ লিখবে।
ইরার জন্ম ২০০৪ সালে।
ওর বয়স এবার ১৪ হবে।
২০০৯ এ সে প্রথম স্কুলে যায়।
২০১8 সালে তার প্রথম স্কুলে যাবার দিনটির ৯ বছর পূর্ণ হবে।
২০০৪+১৪+২০০৯+৯ = ৪০৩৬

সতর্কতা
👉 সংখ্যা লেখার সময় ভুল করা যাবে না। যেমন, প্রথম স্কুলে যাবার দিনটি যদি ৬ বছর আগে হয়, এবং তোমার বন্ধু  যদি ৫ লিখে, তাহলে জাদুটি কাজ করবে না।
👉 প্রতিটা সংখ্যা অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। বর্তমান সালে যত বয়স হবে তাই লিখতে হবে।

ধরো, ইরার জন্ম ২০০৪ সালের ডিসেম্বর মাসে। এখন ফেব্রুয়ারী মাস। সে হিসেবে তার বর্তমান বয়স তেরো বছর দুই মাস। কিন্তু কাগজে ১৪ বছরই লিখতে হবে, কারণ ২০১৮ সালেই তার বয়স ১৪ হবে।
অথবা ইরার জন্ম ২০০৪ সালের ফেব্রুয়ারীতে। ডিসেম্বর মাসে এই ম্যাজিক দেখাতে গেলে তার বয়স ১৪ বছর ১০ মাস, কিন্তু লিখতে হবে ১৪ বছর। কারণ ২০১৮ তার ১৫ হবে না।

💢 [Magic Tips] তিনটি এক সংখ্যার অংকের ভাগফল বের করুন সহজেই


অংকের ছোট্ট ম্যাজিক এই অংকের ম্যাজিকটি ছোট্ট হলেও কম আশ্চর্যজনক নয়।
প্রথমে দর্শককে অনুরোধ করুন পাশাপাশি তিনটি একটি রকম অংক লিখতে (যেমন, ১১১, ২২২ প্রভৃতি)।
তারপর তাকে ঐ অংক তিনটির যোগফল দিয়ে ঐ তিন অংকের নির্বাচিত সংখ্যাকে ভাগ করতে বলুন ।
 আবার আপনি বলুন “এই অংকের ম্যাজিকে আমি কিছুই শুনিনি বা দেখিনি।
 আপনি ইচ্ছামত তিনটি একটি রকম সংখ্যা লিখে, সংখ্যা তিনটির যোগফল দিয়ে ভাগ কররেছেন।
 তবুও আমি যাদুর সাহায্যে বলে দিতে পরি তার উত্তর।
( এবার আপনি এমন ভাব করুন যেন কোন জিনের থেকে উত্তরটি শুনে নিচ্ছেন ) ব্যাস্ বলে দিন ৩৭। আশ্চর্য্য“ রেজল্ট সটিক। কি ভাবে ????

আসলে সে একই রকম তিন অংশের যে সংখ্যাটি লিখুক না কেন উত্তর সর্বদা ৩৭ হবেই। যেমন, ৪৪৪ কে ১২ (৪ + ৪+৪) দ্বারা ভাগ করলে ৩৭ হয়।
এর উত্তরটা সব সময় এক হয়, তাই একই দর্শককে দুবার দেখান যায় না। তবে এর উত্তরটা অন্যভাবেও প্রকাশ করা যায়। একটা ছোট কাগজে লেবুর রস দিয়ে ৩৭ লিখে রাখলে শুকলে কিছুই বোঝা যায় না। উত্তর বলার আগে সবার সমানে পানিতে কাগজটা ভিজালেই ৩৭ ফুটে উঠবে।

💢 [Magic Tricks] গনিতের ম্যাজিক

আমি আপনাদের গনিতের একটা ম্যাজিক দেখাব। আপনে মনে মনে যে সংখ্যাই রাখেন না কেন আমি তা বলে দিতে পারব। বিশ্বাস না হলে নীচে দেখুন-
✋ মনে মনে একটা সংখ্যা ধরুন।
✋ সংখ্যা টিকে তার পরের সংখ্যাআর সঙ্গে যোগ করুন।
✋ এবার যোগফলের সাথে ১২৩ যোগ করে যোগফলকে ২ দারা ভাগ করুন।
✋ এখন ভাগফল থেকে মূল সংখ্যাটি বিয়োগ করুন। এবার বিয়োগফলটা আমি বলি--- বিয়োগফলটা ৬২। কি! অবাক হচ্ছেন? প্রক্রিয়া টা কিন্তু খুব সহজ।
এখন কিভাবে করলাম তার নিয়ম টা দেখাব--
মনে করেন আপনে ধরেছেন ৫৩,
পরের সংখ্যাটি ৫৪,
অতএব যোগ করলে যোগফল হয় ১০৭,
আমি দিলাম ১২৩,
আবার যোগ করলে হয় ২৩০,
২ দিয়া ভাগ দিলে হয় ১১৫, এবার মূল সংখাটা(৫৩) বাদ দিলে হয়
=১১৫-৫৩=৬২,
উত্তরঃ ৬২।
এবং মজার বিষয় উত্তর সবসময় ৬২ হবে, বিশ্বাস না হলে আবার ট্রাই করে দেখুন। (তবে ১২৩ সংখ্যাটি বার বার ব্যাবহার করলে সকলে ব্যাপার টা ধরে ফেলবে।

💢  [Bangla Math Magic Tips and Tricks] - Birthday Date Calculations

Trick : Birthday magic

✋ Step1: Add 18 to your birth month.
✋ Step2: Multiply by 25.
✋ Step3: Subtract 333.
✋ Step4: Multiply by 8.
✋ step5: Subtract 554.
✋ step6: Divide by 2.
✋ step7: Add your birth date.
✋ step8: Multiply by 5.
✋ step9: Add 692.
✋ step10: Multiply by 20.
✋ step11: Add only the last two digits of your birth year.
✋ step12: Subtract 32940 to get your birthday!

উদাহরণ:
যদি উত্তর 123199 হয় তবে 31 ডিসেম্বর, 1999 তারিখে আপনার জন্ম হয়। যদি উত্তরটি সঠিক না হয়, তাহলে আপনি আপনার জন্মদিন সম্পর্কে ভুলভাবে নির্দেশনা দিয়েছেন বা মিথ্যা বলেছিলেন।

💢  গণিত নিয়ে আরো তিনটি ম্যাজিক Tricks নিচে দেয়া হলো -

Magic Tricks  1 প্রথম ম্যাজিক
১ থেকে ১০০ এর মধ্যে যেকোনো একটি সংখ্যা কল্পনা কর।
এরপর সেই সংখ্যাটির সাথে ২ গুণ কর।
প্রাপ্ত গুণফলের সাথে ৫ গুণ কর।
নতুন গুণফল এর শেষে অবশ্যই ০ আছে । তাই না? এখন শূন্যটি মুছে ফেল। দেখ প্রথমে যে সংখ্যাটি তুমি কল্পনা করেছিলে সেটি পেয়ে গেছো।

উদাহরণ
মনে কর তুমি কল্পনা করেছ ২৫।
তাহলে ২৫ X ২ = ৫০
৫০ X ৫ = ২৫০
২৫০
২৫
এটি আসলে খুব সহজ একটি কৌশল। যেকোনো সংখ্যাকে ১০ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের শেষে ০ থাকে। সেই ০ মুছে দিলে তা আবার পূর্বের সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এখানেও তাই ঘটেছে। তুমি যে সংখ্যাটি কল্পনা করেছ সেটিকে ১০ দিয়ে গুণ করা হয়েছে। কিন্তু সেটি হয়েছে দুই ধাপে। একবার ২ দিয়ে আর একবার ৫ দিয়ে। ৫X২ = ১০ । এবার নিশ্চয়ই বুঝতে পেরেছে।
এরকম আরো অনেক ম্যাজিক আছে। চলো এমন কিছু ম্যাজিক শিখে ফেলি। 

Magic Tricks 2 দ্বিতীয় ম্যাজিক
১ থেকে শুরু করে ১০ এর নিচে যে কোনো একটি সংখ্যা কল্পনা কর।
সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুন কর।
এবার গুণফলের সাথে ৬ যোগ কর।
যোগফলকে অর্ধেক কর। মানে ২ দিয়ে ভাগ কর।
এবার ভাগফলের থেকে তোমার কল্পনা করা সংখ্যাটি বিয়োগ কর।
দেখ বিয়োগফল ৩।

এটাও শুধুই বুদ্ধির খেলা। যুক্তিকে কৌশল হিসেবে কাজে লাগিয়ে জাদুতে পরিণত করা হয়েছে।

Magic Tricks 3 তৃতীয় ম্যাজিক
যে কোনো একটি সংখ্যা কল্পনা কর।
সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা গুণ কর।
সংখ্যাটির সাথে ৬ যোগ কর।
এবার যোগফলকে ৩ দিয়ে ভাগ কর।
প্রাপ্ত ভাগফল থেকে তুমি যে সংখ্যাটি কল্পনা করেছিলে সেটি বিয়োগ কর।
দেখ বিয়োগফল ২।

Read More

[Gonit] ফিবোনাচি ধারার রহস্য ~ গনিত সম্পূর্ণ বাংলায়

0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 …………

উপরের ডিজিট গুলোর মাঝে একটা মজার ব্যাপার আছে, বলুন দেখি ব্যাপার টা কি? হ্যা, ধরে ফেলেছেন। এই ধারার প্রত্যেকটি ডিজিট তার আগের দুইটি ডিজিটের যোগফল। আর এই ধারাটাকেই বলা হয় ফিবোনাচি ধারা এবং আমি সহ অনেকের ধারনা ব্যাপক রহস্যময় ধারা।ইতালিয়ান গণিতবিদ লিউনার্দো ফিবোনাচি এই ধারাটি প্রকাশ করেন।

প্রথম থেকেই বলে আসছি রহস্যময়তার কথা, আসুন এখনি কিছু উদাহরন দেখি। কিন্তু তার আগে আমাদের অনেক গুলো ফিবোনাচি সংখ্যা দরকার, চলুন এক নজরে প্রথম ৪৭ টা ফিবোনাচি সংখ্যা দেখে নেই-

F₀ 0 | F₁ 1 | F₂ 1 | F₃ 2 | F₄ 3 | F₅ 5 | F₆ 8 | F₇ 13 | F₈ 21  | F₉ 34 F₁₀ 55 | F₁₁ 89 | F₁₂ 144 | F₁₃ 233 | F₁₄ 377 | F₁₅ 610 | F₁₆ 987 | F₁₇ 1597 | F₁₈ 2584 | F₁₉ 4181 | F₂₀ 6765 | F₂₁ 10946 | F₂₂ 17711 | F₂₃ 28657 | F₂₄ 46368 | F₂₅ 75025 | F₂₆ 121393 | F₂₇ 196418 | F₂₈ 317811 | F₂₉ 514229 | F₃₀ 832040 | F₃₁ 1346269 | F₃₂ 2178309 | F₃₃ 3524578 | F₃₄ 5702887 | F₃₅ 9227465 | F₃₆ 14930352 | F₃₇ 24157817 | F₃₈ 39088169 | F₃₉ 63245986 | F₄₀ 102334155 | F₄₁ 165580141 | F₄₂ 267914296 | F₄₃ 433494437 | F₄₄ 701408733 | F₄₅ 1134903170 | F₄₆ 1836311903

আমরা এক কাজ করি, এই লিস্ট থেকে পরপর যেকোনো 4 টি সংখ্যা নেই।

8   13   21   34

এখন ১ম সংখ্যার সাথে ৪র্থ সংখ্যাটি যোগ করি : 8+34= 42

২য় সংখ্যা সাথে ৩য় সংখ্যা যোগ করি : 13+21= 34

এখন যোগফল দুটি বিয়োগ করলে 42-34= 8 !! সেই প্রথম সংখ্যাটি

অর্থাৎ ফিবোনাচি ধারার যেকোনো ৪ টি সংখ্যার শেষের দুটির যোগফল এবং মাঝের দুটির যোগফলের পার্থক্য প্রথম সংখ্যাটার সমান।

গানিতিক ভাষায়-

(F_n +F_n+4) – (F_n+3 +F_n+2) = Fn

এবার দেখি আরেকটা মজার ব্যাপার, উপরের ফিবোনাচি সংখ্যাগুলো যেগুলো ২ বা তার বেশি ডিজিটের সেগুলোর শেষ ডিজিট গুলো লিখি-

3  1  4  5  9  4  3…………

একটু খেয়াল করলেই দেখবেন এই নতুন ধারাটারও যেকোনো ডিজিট তার আগের ২ ডিজিটের যোগফলের শেষ ডিজিটের সমান। যেমন 9+4=13, এর শেষ ডিজিট 3 ।

আরেকটা অদ্ভুত ব্যাপার হল ফিবোনাচি ধারার প্রতি 60 ফিবোনাচি সংখ্যার পর আবার ফিবোনাচি ধারাই শেষ ডিজিট হিসেবে ফিরে আসে। যেমন-

F₆₀ =1548008755920

F₆₁ =2504730781961

F₆₂ =4052739537881

F₆₃ =6557470319842

F₆₄ =10610209857723

F₆₅ =17167680177565

শেষ ডিজিটগুলো 0  1  1  2  3  5……. আবার ফিবোনাচি সংখ্যা!!!

এতখন আসলে ফিবোনাচি ধারার বৈশিস্ট্য সম্পর্কে বলছিলাম, ফিবোনাচি ধারার আসল মাহার্থ হচ্ছে প্রকৃতির মাঝে ছড়ানো ছিটানো ভাবে থাকা এই ধারা। চলুন দেখি–

মৌমছির জীবন টা একটু অদ্ভুত। একটি ছেলে মৌমাছির জন্ম দেয় শুধু মা মৌমাছি, তার জন্য বাবা মৌমাছির প্রয়োজন নেই। কিন্তু একটি মেয়ে মৌমাছির জন্ম দেয়ার জন্য বাবা এবং মা উভয়েরই প্রয়োজন হয়। আমরা যদি মেয়ে মৌমাছিকে F আর ছেলে মৌমাছিকে M ধরে একটা বংশতালিকা করি তাহলে চিত্রটা এমন হবে-

                                                                            মৌমাছির বংশতালিকা

উপর থেকে মৌমাছির পরিবারে সদস্য সংখ্যা গুনতে থাকেলে দেখা যাবে- 0  1  1  2  3  5  8  13  21……., ফিবোনাচি ধারা!!!

আসুন এইবার একটু খরগোসের জীবন চক্র দেখি। এক জোড়া খরগোস বড় হতে সময় লাগে ১মাস।বড় হবার পর ২য় মাস থেকে প্রতিমাসে মেয়ে খরগোসটি ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে অর্থাৎ এক জোড়া খরগোসের জন্ম দেয়। এখন একটু হিসেব করি।

মাস-১ ; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বাচ্চা খরগোস ; জোড়া সংখ্যা-১

এই জোড়া বাচ্চা খরগোস গুলোর বড় হতে ১ মাস সময় লাগবে, ফলে-

মাস-২; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বড় খরগোস ;  জোড়া সংখ্যা-১

বড় হওয়ার পর তারা একজোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে, তাহলে-

মাস-৩; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ১ জোড়া বড় খরগোস; জোড়া সংখ্যা-২

এরপর, বাচ্চা খরগোস গুলো ১ মাসে বড় হবে এবং এই সময়ের মাঝে বড় খরগোস আরেক জোড়া বাচ্চার জন্ম দেবে, তাই-

মাস-৪; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ২ জোড়া বড় খরগোস, জোড়া সংখ্যা-৩

এর পরের মাসে, ১ মাসে বাচ্চা খরগোস বড় হবে এর এর মাঝে বড় ২ জোড়া খরগোস আরোও ২ জোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে,

মাস-৫; ২ জোড়া বাচ্চা আর ৩ জোড়া বড় খরগোস,জোড়া সংখ্যা-৫……………… এভাবেই চলতে থাকবে।

তাহলে জোড়া সংখ্যা গুলো একটু লিখি- 1  1  2  3  5  ……..!!!! আমি কিছু বলব না, আপনারাই বুঝে নিন।

একটি গাছ কিভাবে বৃদ্ধি পায় তা খেয়াল করলে দেখব গাছ গুলোর ডাল পালা গজানোর একটা নিয়ম আছে, প্রতিটা শাখা তার আগের শাখার একটু উপরে থাকে এবং ঠিক একই জায়গায় কখনো দুইটা শাখা এক সাথে থাকে না, ঠিক নিচের ছবির মত-

                                                                                    গাছের শাখা

এখন যদি নিচ থেকে ডাল গুলোর সংখ্যা গুনতে গুনতে উপরে যাই তাহলে-

1 2 3 5 8 13……………….. ফিবোনাচি সংখ্যা!!
এবার পাতায় আসি, পান বা সূর্যমুখি গাছের মত যে সব গাছ আছে তার পাতাগুলো কিভাবে থাকে? নিচের ছবিটা দেখি-

পাতা গুলো খেয়াল করি, বিভিন্ন দিকে ছড়িয়ে আছে। পাতাগুলোতে নাম্বার দেয়া আছে। আমরা এখন দেখি, কোন কোন পাতা গুলো একই অভিমূখে আছে। এখানে, 6  এবং 14 নাম্বার পাতা দুটো একই অভিমুখে আছে। তাহলে এই একই অভিমুখের দুটি পাতার মাঝে কত গুলো পাতা আছে? ঠিক ধরেছেন- 14-6 = 8, একটি ফিবোনাচি সংখ্যা!! আমরা ছবিটা একটু উপর থেকে দেখি-

এখন দেখা যায়,  ১,৯ একই অভিমুখে, পার্থক্য ৮, ফিবোনাচি  সংখ্যা!, ২,৭ একই অভিমুখে, পার্থক্য ৫, ফিবোনাচি  সংখ্যা!! ২,১৫ ও একই অভিমুখে, পার্থক্য ১৩, ফিবোনাচি  সংখ্যা!!…………ফিবোনাচি  সংখ্যা!ফিবোনাচি  সংখ্যা!!ফিবোনাচি  সংখ্যা!!!
আসলে উদ্ভিদবিজ্ঞানে এই ফিবোনাচি ধারা ব্যাপক ভাবে ছড়িয়ে আছে, ফুলের পাপড়িতে, সূর্যমুখি ফুলের বীজে, ফুলকপি ইত্যাদি অনেক জায়গায় অনেক ভাবে এই ফিবোনাচি ধারা পাওয়া যায়।এগুলো নিয়ে পরবর্তি পর্বে আরও বিস্তারিত ভাবে আলোচনা হবে, তবে এখন আমরা গাছ গাছালির কথা বাদ দেই। আমরা এখন খাতা কলম নিয়ে কিছু কাজ করি। আমরা  যে কোনো দুইটি পাশাপাশি ফিবোনাচি সংখ্যা ( যেমন- ১৩ এবং ৮ ) নিয়ে নিচের মত করে একটা আয়তক্ষেত্র আঁকি।

এবার যদি আমরা এই আয়তক্ষেত্র এর মাঝে একটা দাগ টেনে নিচের মত করে একটা বর্গক্ষেত্র আঁকি তাহলে এর বাম পাশে আরেকটা আয়ত উৎপন্ন হবে-

অর্থাৎ বাম পাশে ৮*৮ এর একটা বর্গ এবং ডান পাশে ৮*৫ এর একটা আয়ত উৎপন্ন হবে। মজার ব্যাপার হল ডান পাশের আয়ত এর   দৈঘ এবং প্রস্থ ফিবোনাচি সংখ্যা। এবার আগের মত করে ডান পাশের আয়ত এর মাঝে একটা দাগ টেনে বর্গ আকা যায়-

এখন আবার ডান পাশের উপরে ৫*৫ এর বর্গ এবং ডান পাশের নিচে ৫*৩( ফিবোনাচি সংখ্যা !) আয়ত উৎপন্ন হয়। একই ভাবে নিচের আয়ত এর মাঝে দাগ টেনে বর্গ আকলেও একি ভাবে আরেকটা আয়ত পাবো। এভাবে আকতে থাকলে নিচের চিত্রের মত দেখাবে-

এবার বাম পশের নিচের কোন থেকে প্রত্যেক কোনায় দাগ টেনে যোগ করলে নিচের মত হবে-

এই নকশাটাকে বলা হয় ফিবোনাচি স্পাইরাল। নকশাটা নিশ্চই চিনতে পেরেছেন। যারা পারেন নি তাদের জন্য নিচের ছবি টা-

তাহলে দেখা গেলো শামুকের খোলের ডিজাইনেও ফিবোনাচি ধারার কারসাজি। এই হল ফিবোনাচি ধারার রহস্য। নিচে আরোও কিছু ছবি দিচ্ছি, দেখুন কেমন লাগে-

আমাদের সৌরজগৎ যে ছায়াপথে আছে তার নাম মিল্কিওয়ে।মিল্কিওয়ে ছায়াপথ দেখতে এই রকম,এতেও লুকিয়ে রয়েছে ফিবোনাচি সংখ্যা।

Read More